1. ¿Qué es una transformación lineal?
Una transformación
lineal es una función, por ser función, tiene su dominio y su codominio, con la
particularidad de que éstos son espacios vectoriales, tenemos dos espacios
vectoriales V y W y una función que va de V a W, o sea, una regla de asignación
que transforma vectores de V en vectores de W. Pero no toda función que
transforme vectores de V en vectores de W es una transformación lineal. Debe
cumplir ciertas condiciones
2. ¿Cuáles son las condiciones para que exista una
transformación lineal?
Como no todas las
transformaciones son lineales, para que pueda ser considerada una transformación
lineal se debe cumplir que;
- F(u+v) = F(u)+F(v)
Es decir, la
transformación de la suma de los vectores u y v debe ser igual a la suma de la
transformación individual de cada vector.
- F(α.v) = α.F(v)
Es decir, la
transformación del producto de un escalar por un vector debe ser igual a la
transformación del vector multiplicada por el escalar.
3. Al menos cinco propiedades o teoremas de las
transformaciones lineales
Teorema 1
Sean T : V −→ W
una transformación lineal, v1, v2, . . . , vn vectores de V y λ1, λ2, . . . ,
λn escalares de R.
Entonces:
T(λ1v1 + λ2v2 + . . . +
λnvn) = λ1T(v1) + λ2T(v2) + . . . + λnT(vn).
De este resultado, se
tiene trivialmente que una transformación lineal asigna el vector cero del
dominio en el vector cero del codominio y por su importancia, lo enunciamos en
el siguiente corolario.
Corolario 1.1
Sea T : V → W una
transformación lineal; entonces: T(0) = 0.
El Teorema 1 también
establece que, para el caso de las transformaciones lineales de Rn a Rm, las
rectas son enviadas en rectas o en el vector 0 y los planos son enviados en
planos, en rectas o en el vector 0. En general, el Teorema 1 permite demostrar
que una transformación lineal asigna a un subespacio del dominio un subespacio
del codominio.
Recordemos que dos
funciones definidas sobre un mismo dominio y codominio son iguales, si y sólo
si, tienen las mismas imágenes para todos y cada uno de los elementos del
dominio. Aunque una transformación lineal es una función, sus características
especiales simplifican enormemente la propiedad de igualdad entre transformaciones,
como lo expresamos en el siguiente teorema.
Teorema 2
Sean B = {v1, v2, . . .
, vn} una base del espacio vectorial V y T : V −→ W y S : V −→ W dos
transformaciones lineales.
T = S, si y sólo si,
S(v1) = T(v1), S(v2) = T(v2), . . . , S(vn) = T(vn).
Demostración: Por la
igualdad entre funciones, es claro que si T = S, las imágenes de los elementos
de la base bajo las dos transformaciones son iguales. Para demostrar la otra
implicación, recordemos que como B es una base de V, para cada vector v de V,
existen escalares λ1, λ2, . . . , λn tales que v = λ1v1+λ2v2+. . .+λnvn.
Por el Teorema 1 y la
igualdad de las imágenes de los elementos de la base bajo las dos
transformaciones, tenemos:
T(v) = λ1T(v1) +
λ2T(v2) + . . . + λnT(vn)
= λ1S(v1) + λ2S(v2) + .
. . + λnS(vn)
= S(v)
Por los teoremas
anteriores, es fácil ver que, si conocemos la imagen de cada uno de los
elementos de una base del dominio de una transformación, podemos conocer la
imagen de cualquier otro vector del dominio. En otras palabras, que una
transformación lineal queda completamente determinada por las imágenes de cada
uno de los elementos de una base del dominio, como lo enunciamos en el
siguiente teorema.
Teorema 3
Si B = {v1, v2, . . . ,
vn} es una base del espacio vectorial V , existe una única transformación T : V
→ W, tal que w1 = T(v1), w2 = T(v2), . . . , wn = T(vn) con w1, w2, . . . , wn ∈ W.
Demostración: Tenemos
que B es una base de V, así que B es un conjunto generador de V y por tanto,
para cualquier vector v de V existen escalares λ1, λ2, . . ., λn tales que v =
λ1v1 + λ2v2 + . . . + λnvn. Así, que si sabemos que w1 = T(v1), w2 = T(v2), . .
. , wn = T(vn), podemos encontrar la imagen de cualquier vector v de V . En
efecto, por el Teorema 1
T(v) = λ1w1 + λ2w2 + .
. . + λnwn.
Nos queda por demostrar
la unicidad de esta transformación. Supongamos que existen dos transformaciones
lineales T1 y T2 tales que T1(vi) = wi = T2(vi) para i = 1, 2, . . . , n. Por
el Teorema 2, T1 y T2 son la misma transformación.
Teorema 4
Sean V y W espacios
vectoriales y T : V → W una transformación lineal. Entonces:
1. Nu(T) es subespacio
vectorial de V.
2. Im(T) es subespacio
vectorial de W.
Demostración: Por el
Teorema 1, un subconjunto H no vacío de un espacio vectorial es un subespacio
vectorial, si y sólo si, los elementos de H satisfacen las propiedades
clausurativas para la suma y el producto por escalar.
1. Por el Corolario
1.1, 0 es un elemento de Nu(T), así que Nu(T) es no vacío. De otro lado, si
tomamos dos vectores u y v de Nu(T) y un escalar λ, tenemos que T(u) = 0 y T(v)
= 0, de modo que
T(u + v) = T(u) + T(v)
= 0 + 0 = 0
T(λu) = λT(u) = λ0 = 0
de donde concluimos que
u + v y λu están en Nu(T).
2.De nuevo por el
Corolario 1.1, 0 es un elemento de Im(T), así que Im(T) es no vacío y si
tomamos dos vectores w1 y w2 de Im(T) y un escalar λ, tenemos que existen v1 y
v2, vectores de V tales que T(v1) = w1 y T(v2) = w2, de modo que
w1 + w2 = T(v1) + T(v2)
= T(v1 + v2) λw1 = λT(v1) = T(λv1)
de donde concluimos que
w1 + w2 y λw1 están en Im(T).
Teorema 5
Dadas la transformación
lineal T : V → W, con V y W espacios vectoriales de dimensión finita y las
bases B = {v1, v2, . . . , vn} y B ′ de V y W, respectivamente, la matriz
asociada a la transformación T respecto de estas bases, [AT ], es la única
matriz tal que, para todo v ∈
V
[T(v)]B′ = AT [v]B.
Demostración: Si v =
λ1v1+λ2v2+. . .+λnvn, por el Teorema 1, T(v) = λ1T(v1)+λ2T(v2)+. . .+λnT(vn).
De donde, la
combinación se conserva para los vectores de coordenadas respectivos respecto a
una misma base; es decir, [T(v)]B′ = λ1[T(v1)]B′ + λ2[T(v2)]B′ + . . . +
λn[T(vn)]B′ . Así que, por definición de Ax, tenemos que [T(v)]B′ = AT [v]B.
4. Un ejemplo de una transformación lineal
5. ¿Cómo probar esa transformación lineal?
Comprobamos con las condiciones mencionadas en
el punto #2:
- F(u+v) = F(u)+F(v)
Es decir, la
transformación de la suma de los vectores u y v debe ser igual a la suma de la
transformación individual de cada vector.
- F(α.v) = α.F(v)
Es decir, la
transformación del producto de un escalar por un vector debe ser igual a la
transformación del vector multiplicada por el escalar.
Vemos que se cumplen
las dos condiciones y al cumplirse las dos condiciones, la transformación es
una transformación lineal.
