Portafolio Danilo Garcia I.U. Pascual Bravo: Transformaciones lineales

1. ¿Qué es una transformación lineal?

Una transformación lineal es una función, por ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales, tenemos dos espacios vectoriales V y W y una función que va de V a W, o sea, una regla de asignación que transforma vectores de V en vectores de W. Pero no toda función que transforme vectores de V en vectores de W es una transformación lineal. Debe cumplir ciertas condiciones

2. ¿Cuáles son las condiciones para que exista una transformación lineal?

Como no todas las transformaciones son lineales, para que pueda ser considerada una transformación lineal se debe cumplir que;

- F(u+v) = F(u)+F(v)

Es decir, la transformación de la suma de los vectores u y v debe ser igual a la suma de la transformación individual de cada vector.

- F(α.v) = α.F(v)

Es decir, la transformación del producto de un escalar por un vector debe ser igual a la transformación del vector multiplicada por el escalar.

3. Al menos cinco propiedades o teoremas de las transformaciones lineales

Teorema 1

Sean T : V −→ W una transformación lineal, v1, v2, . . . , vn vectores de V y λ1, λ2, . . . , λn escalares de R.

Entonces:

T(λ1v1 + λ2v2 + . . . + λnvn) = λ1T(v1) + λ2T(v2) + . . . + λnT(vn).

De este resultado, se tiene trivialmente que una transformación lineal asigna el vector cero del dominio en el vector cero del codominio y por su importancia, lo enunciamos en el siguiente corolario.

Corolario 1.1

Sea T : V → W una transformación lineal; entonces: T(0) = 0.

El Teorema 1 también establece que, para el caso de las transformaciones lineales de Rn a Rm, las rectas son enviadas en rectas o en el vector 0 y los planos son enviados en planos, en rectas o en el vector 0. En general, el Teorema 1 permite demostrar que una transformación lineal asigna a un subespacio del dominio un subespacio del codominio.

Recordemos que dos funciones definidas sobre un mismo dominio y codominio son iguales, si y sólo si, tienen las mismas imágenes para todos y cada uno de los elementos del dominio. Aunque una transformación lineal es una función, sus características especiales simplifican enormemente la propiedad de igualdad entre transformaciones, como lo expresamos en el siguiente teorema.

Teorema 2

Sean B = {v1, v2, . . . , vn} una base del espacio vectorial V y T : V −→ W y S : V −→ W dos transformaciones lineales.

T = S, si y sólo si, S(v1) = T(v1), S(v2) = T(v2), . . . , S(vn) = T(vn).

Demostración: Por la igualdad entre funciones, es claro que si T = S, las imágenes de los elementos de la base bajo las dos transformaciones son iguales. Para demostrar la otra implicación, recordemos que como B es una base de V, para cada vector v de V, existen escalares λ1, λ2, . . . , λn tales que v = λ1v1+λ2v2+. . .+λnvn.

Por el Teorema 1 y la igualdad de las imágenes de los elementos de la base bajo las dos transformaciones, tenemos:

T(v) = λ1T(v1) + λ2T(v2) + . . . + λnT(vn)

= λ1S(v1) + λ2S(v2) + . . . + λnS(vn)

= S(v)

Por los teoremas anteriores, es fácil ver que, si conocemos la imagen de cada uno de los elementos de una base del dominio de una transformación, podemos conocer la imagen de cualquier otro vector del dominio. En otras palabras, que una transformación lineal queda completamente determinada por las imágenes de cada uno de los elementos de una base del dominio, como lo enunciamos en el siguiente teorema.

Teorema 3

Si B = {v1, v2, . . . , vn} es una base del espacio vectorial V , existe una única transformación T : V → W, tal que w1 = T(v1), w2 = T(v2), . . . , wn = T(vn) con w1, w2, . . . , wn ∈ W.

Demostración: Tenemos que B es una base de V, así que B es un conjunto generador de V y por tanto, para cualquier vector v de V existen escalares λ1, λ2, . . ., λn tales que v = λ1v1 + λ2v2 + . . . + λnvn. Así, que si sabemos que w1 = T(v1), w2 = T(v2), . . . , wn = T(vn), podemos encontrar la imagen de cualquier vector v de V . En efecto, por el Teorema 1

T(v) = λ1w1 + λ2w2 + . . . + λnwn.

Nos queda por demostrar la unicidad de esta transformación. Supongamos que existen dos transformaciones lineales T1 y T2 tales que T1(vi) = wi = T2(vi) para i = 1, 2, . . . , n. Por el Teorema 2, T1 y T2 son la misma transformación.

Teorema 4

Sean V y W espacios vectoriales y T : V → W una transformación lineal. Entonces:

1. Nu(T) es subespacio vectorial de V.

2. Im(T) es subespacio vectorial de W.

Demostración: Por el Teorema 1, un subconjunto H no vacío de un espacio vectorial es un subespacio vectorial, si y sólo si, los elementos de H satisfacen las propiedades clausurativas para la suma y el producto por escalar.

1. Por el Corolario 1.1, 0 es un elemento de Nu(T), así que Nu(T) es no vacío. De otro lado, si tomamos dos vectores u y v de Nu(T) y un escalar λ, tenemos que T(u) = 0 y T(v) = 0, de modo que

T(u + v) = T(u) + T(v) = 0 + 0 = 0

T(λu) = λT(u) = λ0 = 0

de donde concluimos que u + v y λu están en Nu(T).

2.De nuevo por el Corolario 1.1, 0 es un elemento de Im(T), así que Im(T) es no vacío y si tomamos dos vectores w1 y w2 de Im(T) y un escalar λ, tenemos que existen v1 y v2, vectores de V tales que T(v1) = w1 y T(v2) = w2, de modo que

w1 + w2 = T(v1) + T(v2) = T(v1 + v2) λw1 = λT(v1) = T(λv1)

de donde concluimos que w1 + w2 y λw1 están en Im(T).

Teorema 5

Dadas la transformación lineal T : V → W, con V y W espacios vectoriales de dimensión finita y las bases B = {v1, v2, . . . , vn} y B ′ de V y W, respectivamente, la matriz asociada a la transformación T respecto de estas bases, [AT ], es la única matriz tal que, para todo v ∈ V

[T(v)]B′ = AT [v]B.

Demostración: Si v = λ1v1+λ2v2+. . .+λnvn, por el Teorema 1, T(v) = λ1T(v1)+λ2T(v2)+. . .+λnT(vn).

De donde, la combinación se conserva para los vectores de coordenadas respectivos respecto a una misma base; es decir, [T(v)]B′ = λ1[T(v1)]B′ + λ2[T(v2)]B′ + . . . + λn[T(vn)]B′ . Así que, por definición de Ax, tenemos que [T(v)]B′ = AT [v]B.

4. Un ejemplo de una transformación lineal